Этот раздел описывает функции Maxima для аналитического решения некоторых
типов дифференциальных уравнений первого и второго порядка. Для получения
численного решения системы дифференциальных уравнений используйте дополнительный
пакет dynamics, для графического представления в фазовом пространстве -
пакет plotdf.
Решает краевую задачу для дифференциального уравнения второго порядка.
Здесь solution - общее решение уравнения, полученное ode2; xval1
задает значение независимой переменной в начальной точке в виде
x = x1 и yval1 задает значение зависимой переменной
в этой точке в виде y = y1. Выражения xval2 и yval2
определяют значения для этих переменных во второй точке, используя ту же запись.
Пример использования см. в ode2.
Функция desolve решает линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений
при помощи преобразования Лапласа. Здесь eqn - дифференциальные уравнения со
связанными переменными x_1, ..., x_n. Функциональная зависимость между
x_1, ..., x_n или от независимой переменной, например, x,
должна явно задаваться в переменных и их производных. Например, следующее определение
двух уравнений неверно:
eqn_1: 'diff(f,x,2) = sin(x) + 'diff(g,x); eqn_2: 'diff(f,x) + x^2 - f = 2*'diff(g,x,2);
Правильная запись -
eqn_1: 'diff(f(x),x,2) = sin(x) + 'diff(g(x),x); eqn_2: 'diff(f(x),x) + x^2 - f(x) = 2*'diff(g(x),x,2);
Тогда вызов функции desolve будет иметь вид
desolve([eqn_1, eqn_2], [f(x),g(x)]);
Если известны начальные условия в x=0, то при помощи atvalue их можно
дополнительно определить до вызова desolve.
(%i1)'diff(f(x),x)='diff(g(x),x)+sin(x);d d (%o1) -- (f(x)) = -- (g(x)) + sin(x) dx dx (%i2)'diff(g(x),x,2)='diff(f(x),x)-cos(x);2 d d (%o2) --- (g(x)) = -- (f(x)) - cos(x) 2 dx dx (%i3)atvalue('diff(g(x),x),x=0,a);(%o3) a (%i4)atvalue(f(x),x=0,1);(%o4) 1 (%i5)desolve([%o1,%o2],[f(x),g(x)]);x (%o5) [f(x) = a %e - a + 1, g(x) = x cos(x) + a %e - a + g(0) - 1] (%i6)[%o1,%o2],%o5,diff;x x x x (%o6) [a %e = a %e , a %e - cos(x) = a %e - cos(x)]
Если desolve не может получить решение, возвращается false.
Решает задачи с начальными условиями для дифференциальных уравнений
первого порядка. Здесь solution - общее решение уравнения, полученное
ode2; xval задает начальное значение независимой переменной
в виде x = x0, и yval задает начальное значение зависимой
переменной в виде y = y0.
Пример использования см. в ode2.
Решает задачи с начальными условиями для дифференциальных уравнений
второго порядка. Здесь solution - общее решение уравнения, полученное
ode2; xval задает начальное значение независимой переменной
в виде x = x0, yval задает начальное значение зависимой
переменной в виде y = y0, и dval задает начальное значение
для первой производной зависимой переменной по независимой в виде
diff(y,x) = dy0 (перед diff не нужно ставить кавычку).
Пример использования см. в ode2.
Функция ode2 решает обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ)
первого или второго порядка. Она принимает три аргумента: ОДУ eqn,
зависимую переменную dvar и независимую переменную ivar.
При удачном результате возвращается явное или неявное решение относительно
зависимой переменной. %c используется для представления константы
интегрирования в случае уравнений первого порядка; %k1 и %k2 -
константы в решениях уравнений второго порядка. Зависимость зависимой
переменной от независимой не требуется указывать явно, как в случае с
desolve, но независимая переменная должна всегда указываться в
качестве третьего аргумента.
Если по каким-то причинам ode2 не может получить решение, возвращается
false, и, возможно, печатается сообщение об ошибке. Методы
решения уравнений первого порядка (в том порядке, в каком Maxima пытается
их применять): линейный, разделение переменных, явный - возможно, используется
интегрирующий множитель, однородное уравнение, уравнение Бернулли и обобщенный
однородный метод.
Типы решаемых уравнений второго порядка: уравнение с постоянными коэффициентами, явное, линейное однородное с непостоянными коэффициентами, преобразующимися к постоянным, уравнение Эйлера (или равноразмерное), уравнения, решаемые методом вариации переменных, а также уравнения без независимой или зависимой переменной, сводимые для последующего решения к линейным уравнениям первого порядка.
В ходе решения ОДУ чисто для справки устанавливается несколько переменных:
method указывает на использованный метод решения (например, linear),
intfactor - использованный интегрирующий множитель, odeindex -
коэффициент, примененный в методе Бернулли или обобщенном однородном методе, а
yp - частное решение для метода вариации переменных.
Для решения задач с начальными условиями для уравнений первого и второго
порядка доступны функции ic1 и ic2, а для решения краевых задач
может использоваться функция bc2.
Пример:
(%i1)x^2*'diff(y,x) + 3*y*x = sin(x)/x;2 dy sin(x) (%o1) x -- + 3 x y = ------ dx x (%i2)ode2(%,y,x);%c - cos(x) (%o2) y = ----------- 3 x (%i3)ic1(%o2,x=%pi,y=0);cos(x) + 1 (%o3) y = - ---------- 3 x (%i4)'diff(y,x,2) + y*'diff(y,x)^3 = 0;2 d y dy 3 (%o4) --- + y (--) = 0 2 dx dx (%i5)ode2(%,y,x);3 y + 6 %k1 y (%o5) ------------ = x + %k2 6 (%i6)ratsimp(ic2(%o5,x=0,y=0,'diff(y,x)=2));3 2 y - 3 y (%o6) - ---------- = x 6 (%i7)bc2(%o5,x=0,y=1,x=1,y=3);3 y - 10 y 3 (%o7) --------- = x - - 6 2